Bài học giúp làm rõ lý thuyết phương trình mặt cầu, các dạng toán phổ biến và một số tài liệu phương trình mặt cầu trọng tâm. Giúp độc giả nắm chắc được điểm kiến thức này và ứng dụng vào các đề thi toán lớp 12 quan trọng.
Mục lục
Tổng quan phương trình mặt cầu
Trong không gian ba chiều, mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước một khoảng không đổi R. Khi đó O gọi là tâm và khoảng cách R gọi là bán kính mặt cầu. Trong toán học, tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
- Kí hiệu phương trình mặt cầu: S(I; R) ⇒ S(I; R) = {M | IM = R}.
- Phương trình chính: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
- Phương trình tổng quát: (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Tổng quan lý thuyết phương trình mặt cầu.
Lý thuyết phương trình mặt cầu
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S(I; R) ⇒ S(I; R) = {M | IM = R}.
Mặt cầu tâm I, bán kính R.
Phương trình chính tắc
Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R > 0.
(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1)
Phương trình tổng quát
(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu:
a2 + b2 + c2 – d > 0
+) (S) có tâm I(a; b; c)
+) (S) có bán kính: 
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Khi đó:
+) Nếu d > R: Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.
Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.
+) Nếu d = R: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
+) Nếu d < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I’ và bán kính 
.
Mặt phẳng cắt mặt cầu
Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của I lên ∆. Khi đó:
+) IH > R: ∆ không cắt mặt cầu.
Đường thẳng không cắt mặt cầu.
+) IH = R: ∆ tiếp xúc với mặt cầu. ∆ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.
Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu.
+) IH < R: ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
Đường thẳng cắt mặt cầu.
Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+) Xác định: d(I; ∆) = IH
+) Lúc đó: 
Đường tròn trong không gian Oxyz
Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (α).
Đường tròn trong không gian Oxyz
(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(α): Ax + By + Cz + D = 0
Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C)
+) Tâm I’ = d ∩ (α)
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp (α)
+) Bán kính: 
Điều kiện tiếp xúc
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; ∆) = R
+) Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R
Lưu ý: Tìm tiếp điểm M0(x0; y0; z0)
Sử dụng tính chất: 
Phân dạng bài tập
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu
Phương pháp
Thuật toán 1
Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c).
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.
(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Thuật toán 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 – d > 0)
[ads]Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(2; 2; –3) và bán kính R = 3
b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; –2; 1)
c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(–2; 0; 1)
Bài giải:
a) Mặt cầu tâm I(2; 2; –3) và bán kính R = 3, có phương trình:
(S): (x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9
b) Ta có: 
Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính 
, có phương trình:
(S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 18
c) Ta có: 
Gọi I là trung điểm AB ⇒ 
Mặt cầu tâm và bán kính 
, có phương trình:
Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x − 15y − 12z +75 = 0.
c) (S) có tâm I(–1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng ∆: 
Bài giải:
a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ta có: 
Do (S) đi qua A, B 
⇒ I(10; 0; 0) và 
Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính 
, có phương trình (S): (x – 10)2 + y2 + z2 = 50
b) Do (S) tiếp xúc với (α) 
Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S): x2 + y2 + z2 = 9
c) Chọn 
Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là 
. Ta có: 
Do (S) tiếp xúc với ∆ 
Mặt cầu tâm I(–1; 2; 0) và bán kính 
, có phương trình (S): 
Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a) (S) qua bốn điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3), D(1; 0; 4).
b) (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:
a) Cách 1: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: 
Do đó: I(–2; 1; 0) và 
. Vậy (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, (a2 + b2 + c2 – d > 0)
Do A(1; 2; –4) ∈ (S) ⇔ –2a – 4b + 8c + d = –21 (1)
Tương tự:
B(1; –3; 1) ∈ (S) ⇔ –2a + 6b – 2c + d = –11 (2)
C(2; 2; 3) ∈ (S) ⇔ –4a – 4b – 6c + d = –17 (3)
D(1; 0; 4) ∈ (S) ⇔ –2a – 8c + d = –17 (4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d suy ra phương trình mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) ⇒ I(0; b; c)
Ta có: 
Vậy I(0; 7; 5) và 
. Vậy (S): x2 + (y – 7)2 + (z – 5)2 = 26
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆: 
và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β): x + 2y + 2z + 7 = 0.
Bài giải:
Gọi I(t; –1; –t) ∈ ∆ là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: 
Suy ra: I(3; –1; –3) và 
.
Vậy 
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A(2; 6; 0), B(4; 0; 8) và có tâm thuộc d: 
Bài giải:
Ta có d: 
. Gọi I(1 – t; 2t; –5 + t) ∈ d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có: 
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B ⇔ AI = BI
và 
Vậy 
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; –1) và cắt đường thẳng ∆: 
tại hai điểm A, B với AB = 16.
Bài giải:
Chọn 
. Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là 
Ta có: 
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết: 
Vậy (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 76
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng ∆: 
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và ∆ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20π.
Bài giải:
Ta có ∆: 
Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: 
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5(1 + 7t) – 4(3t) + (1 – 2t) – 6 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ I(1; 0; 1)
Ta có: 
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: 
Vậy 
Bài tập 8: Cho mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 2 = 0 và đường thẳng d: 
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài giải:
Gọi I(–t; 2t – 1; t + 2) ∈ d là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết: 
Mặt khác: 
Với 
: Tâm 
, suy ra 
Với 
: Tâm 
, suy ra 
Bài tập 9: Cho điểm I(1; 0; 3) và đường thẳng d: 
. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho ∆IAB vuông tại I.
Bài giải:
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương 
và P(1; –1; 1) ∈ d
Ta có: 
Suy ra: 
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, ∆IAB vuông tại I
Vậy 
Bài tập 10: (Khối A – 2011) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải:
(S) có tâm I(2; 2; 2), bán kính 
. Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp 
Khoảng cách: 
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng: ax + by + cz > 0 (a2 + b2 + c2 > 0) (*)
Do (P) đi qua A, suy ra: 4a + 4b = 0 ⇔ b = –a
Lúc đó: 
Theo (*), suy ra (P): x – y + z = 0 hoặc x – y – z = 0
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): 
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 3 = 0 cắt mặt phẳng (P): x – 2 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 0) và bán kính R = 2.
Ta có: d(I, (P)) = 1 < 2 = R ⇔ mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (đpcm)
Đường thẳng d qua I(1; 0; 0) và vuông góc với (P) nên nhận 
làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình d: 
+) Tọa độ tâm I’ đường tròn là nghiệm của hệ: 
+) Ta có: d(I, (P)) = 1. Gọi r là bán kính của (C), ta có: 
Dạng 2: Sự tương giao và sự tiếp xúc
Phương pháp gải
Các điều kiện tiếp xúc:
+) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I, ∆) = R
+) Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I, (α)) = R
Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
Bài tập vận dụng
[ads]Bài tập 1: Cho đường thẳng (∆): 
và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4z + 1 = 0. Số điểm chung của (∆) và (S) là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Bài giải:
Chọn A
Đường thẳng (∆) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là 
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; –2) và bán kính R = 2
Ta có 
và 
Vì d(I, ∆) > R nên (∆) không cắt mặt cầu (S)
Bài tập 2: Cho điểm I(1; –2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
A. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9
B. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10
C. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 10
D. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9
Bài giải:
Chọn B
Gọi M là hình chiếu của I(1; –2; 3) lên Oy, ta có: M(0; –2; 0)
là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10
Bài tập 3: Cho điểm I(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình 
. Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:
A. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 50
B. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 25
C. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 25
D. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 50
Bài giải:
Chọn D
Đường thẳng (d) đi qua I(1; –2; 3) và có VTCP 
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 50
Bài tập 4: Mặt cầu (S) tâm I(2; 3; –1) cắt đường thẳng d: 
tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16 có phương trình là:
A. (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 17
B. (x + 2)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 = 289
C. (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289
D. (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 280
Bài giải:
Chọn C
Đường thẳng (d) đi qua M(11; 0; –25) và có vectơ chỉ phương 
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:
Vậy (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289
Bài tập 5: Cho đường thẳng d: 
và điểm I(4; 1; 6). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6. Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 18
B. (x + 4)2 + (y + 1)2 + (z + 6)2 = 18
C. (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 9
D. (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 16
Bài giải:
Chọn A
Đường thẳng d đi qua M (−5; 7; 0) và có vectơ chỉ phương 
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
Vậy (S): (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 18
Bài tập 6: Cho điểm I(1; 0; 0) và đường thẳng d: 
. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Chọn A
Đường thẳng (∆) đi qua M(1; 1; –2) và có vectơ chỉ phương 
Ta có 
và 
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
Xét tam giác IAB, có 
Vậy phương trình mặt cầu là:
Bài tập 7: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu (S) qua A(0; 0; 5) biết:
a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương 
b) Vuông góc với mặt phẳng (P): 3x − 2y + 2z +3 = 0.
Bài giải:
a) Đường thẳng d qua A(0; 0; 5) và có một vectơ chỉ phương , có phương trình d: 
b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là 
Đường thẳng d qua A(0; 0; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương , có phương trình d: 
Bài tập 8: Cho (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 6y + 2z + 3 = 0 và hai đường thẳng
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1 và ∆2 đồng thời tiếp xúc với (S).
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(3; 3; –1), R = 4
Ta có: ∆1 có một vectơ chỉ phương là 
∆2 có một vectơ chỉ phương là 
Gọi 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Do 
chọn 
Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng: –2x – y + 2z + m = 0
Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) 
Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là: −2x − y + 2z + 7 = 0, −2x − y + 2z – 17 = 0
Bài tập 9: Viết phương trình tiếp diện của mặt (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 6z + 5 = 0, biết tiếp diện:
a) Qua M(1; 1; 1)
b) Song song với mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 1 =0
c) Vuông góc với đường thẳng d: 
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 2; 3), bán kính R = 3
a) Để ý rằng, M ∈ (S). Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là 
, có phương trình :
(α): 2(x – 1) – (y – 1) – 2(z – 1) = 0 ⇔ 2x – y – 2z + 1 = 0
b) Do mặt phẳng (α) // (P) nên (α) có dạng: x + 2y – 2z + m = 0
Do (α) tiếp xúc với (S) 
+) Với m = −6 suy ra mặt phẳng có phương trình: x + 2y – 2z – 6 = 0
+) Với m = 12 suy ra mặt phẳng có phương trình: x + 2y – 2z + 12 = 0
c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là 
Do mặt phẳng (α) ⊥ d nên (α) nhận làm một vectơ pháp tuyến.
Suy ra mặt phẳng (α) có dạng: 2x + y – 2z + m = 0
Do (α) tiếp xúc với (S) 
+) Với m = −3 suy ra mặt phẳng có phương: x + 2y – 2z – 3 = 0
+) Với m = 15 suy ra mặt phẳng có phương trình: x + 2y – 2z + 15 = 0
Trắc nghiệm viết phương trình mặt cầu
Cũng tương tự như phần tự luận, để viết được phương trình mặt cầu ta cũng dựa vào 2 dạng phương trình cơ bản như bên dưới. Tuy nhiên dưới áp lực thời gian của câu hỏi ta cần nhận biết được khi nào thì sử dụng loại phương trình nào để tránh mất thời gian cho việc biến đổi.
Viết phương trình mặt cầu trong trắc nghiệm
Phương trình mặt cầu (S) dạng 1
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm I(a;b;c) và bán kính R.
Khi đó: (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R ⇔ (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Phương trình mặt cầu (S) dạng 2
(S): x2 + y2 + z2 + 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Với a2 + b2 + c2 – d > 0 là phương trình mặt cầu dạng 2
Tâm I(a; b; c), bán kính: 
Bài tập mẫu
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I(0; 0; –3) và đi qua điểm M(4; 0; 0). Phương trình của (S) là
A. x2 + y2 + (z + 3)2 = 25
B. x2 + y2 + (z + 3)2 = 5
C. x2 + y2 + (z – 3)2 = 25
D. x2 + y2 + (z – 3)2 = 5
Phân tích hướng dẫn giải
Dạng toán: Đây là dạng toán viết phương trình của mặt cầu.
Hướng dẫn giải
Tâm: I(a;b;c)
Bước 1: (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R ⇔ (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Bước 2: 
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải chi tiết
Theo bài ta có bán kính của mặt cầu (S) là
Từ đó ta có phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + (z + 3)2 = 25
Do đó ta chọn đáp án A.
Bài tập vận dụng
[ads]Câu 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(–1; 2; –3) và đi qua giao điểm của đường thẳng d: 
với mặt phẳng (Oxy).
A. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 27
B. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 27
C. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9
D. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9
Lời giải:
Chọn B
Mặt phẳng Oxyz là: z = 0
Gọi A = d ∩ (Oxyz) ⇒ t = –3 ⇒ A(–2; 5; 0)
Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là 
Phương trình mặt cầu (S) tâm và bán kính I(–1; 2; –3) và bán kính 
là
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 27
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I(–1; 2; –3) và tiếp xúc với trục Ox. Phương trình của (S) là:
A. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 13
B. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 27
C. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 13
D. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 27
Lời giải
Chọn C
Gọi A là hình chiếu của I lên trục Ox ⇒ A(–1; 0; 0).
Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là 
Phương trình mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; –3) và bán kính 
là
(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 13
Câu 3: Mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; –3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 1 = 0 có phương trình:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn B
Bán kính mặt cầu là: 
Phương trình mặt cầu là:
Câu 4: Mặt cầu (S) tâm I(2; 1; 5) và tiếp xúc với mặt cầu (S1): (x – 1)2 + y2 + z2 = 3 có phương trình:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn A
Từ (S1): (x – 1)2 + y2 + z3 = 3 ⇒ Tâm I1(1; 0; 0) và bán kính 
Do 
vậy điểm I(2; 1; 5) nằm ngoài mặt cầu (S1): (x – 1)2 + y2 + z2 = 3
Ta có pt đường thẳng II1 là 
Gọi A = II1 ∩ (S1) ⇒ A(1 – t; –t; –5t). Do A ∈ (S1) nên
Bán kính mặt cầu là: 
Phương trình mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 5)2 = 12
Bán kính mặt cầu là: 
Phương trình mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 5)2 = 48
Câu 5: Mặt cầu (S) tâm I(1; 2; 4) và tiếp xúc với mặt phẳng (S1): (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 27 có phương trình:
A. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 3
B. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 9
C. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 3
D. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 9
Lời giải
Chọn C
Từ (S1): (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 27, tâm I1(–1; 0; 2) và bán kính 
Do 
vậy điểm I(1; 2; 4) nằm trong mặt cầu (S1)
(S) và (S1) tiếp xúc 
Bán kính mặt cầu là: 
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 3
Câu 6: Mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình:
A. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 1
B. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 14
C. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 1
D. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng (Oyz): x = 0
Bán kính mặt cầu là: 
Phương trình mặt cầu là: (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 1
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 2), B(3; 5; 0). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
A. (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2 = 3
B. (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2 = 12
C. (x + 2)2 + (y + 4)2 + (z + 1)2 = 12
D. (x + 2)2 + (y + 4)2 + (z + 1)2 = 3
Lời giải
Chọn A
Trung điểm của đoạn thẳng AB là 
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(2; 4; 1), bán kính 
Vậy phương trình của mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2 = 3
Câu 8: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1; 2; 0)
A. x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0
B. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 6z + 5 = 0
C. x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 11 = 0
D. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 6z + 11 = 0
Lời giải
Chọn A
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c)
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1; 2; 0) nên M là hình chiếu của I(a; b; c) lên mp (Oxy) suy ra I(2; 1; c)
Ta có mp (Oxy) có phương trình là z = 0
Ta có 
Với c = 3
Mặt cầu I(2; 1; 3), bán kính R = 3 có phương trình là:
(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0
Với c = –3
Mặt cầu I(2; 1; –3), bán kính R = 3 có phương trình là:
(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 6z + 5 = 0
Câu 9: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1; 2; 3), B(4; –6; 2) có tâm I thuộc trục Ox là
A. (S): (x – 7)2 + y2 + z2 = 6
B. (S): (x + 7)2 + y2 + z2 = 36
C. (S): (x + 7)2 + y2 + z2 = 6
D. (S): (x – 7)2 + y2 + z2 = 49
Lời giải
Chọn D
Vì I ∈ Ox nên gọi I(x; 0; 0).
Do (S) đi qua A, B nên
Suy ra I(7; 0; 0) ⇒ R = IA = 7
Do đó (S): (x – 7)2 + y2 + z2 = 49
Câu 10: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(2; 0; –2), B(–1; 1; 2) và có tâm I thuộc trục Oy là
A. (S): x2 + y2 + z2 + 2y – 8 = 0
B. (S): x2 + y2 + z2 – 2y – 8 = 0
C. (S): x2 + y2 + z2 + 2y + 8 = 0
D. (S): x2 + y2 + z2 – 2y + 8 = 0
Lời giải
Chọn A
Vì I ∈ Oy nên gọi I(0; y; 0).
Do (S) đi qua A, B nên
Suy ra I(70; –1; 0) ⇒ R = IA = 3
Do đó (S): x2 + (y + 1)2 + z2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2y – 8 = 0
Câu 11: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và tâm I ∈ (Oxy) là
A. (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
B. (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 9
C. (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
D. (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 9
Lời giải
Chọn A
Vì I ∈ (Oxy) nên gọi I(x; y; 0). Ta có: 
Câu 12: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2; 1; 1)
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn B
Giả sử I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2; 1; 1).
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2; 1; 1) có các thành phần tọa độ đều dương nên a = b = c = r
Phương trình mặt cầu (S) là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – a)2 = a2
Vì mặt cầu (S) đi qua điểm M(2; 1; 1) nên
Câu 13: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; –4) và thể tích bằng 36π. Phương trình của (S) là
A. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 9
B. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 9
C. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 9
D. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 3
Lời giải
Chọn A
Ta có: 
Khi đó (S) có tâm I(1; 2; –4) và bán kính R = 3
⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 9
Câu 14: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và diện tích bằng 32π. Phương trình của (S) là
A. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16
B. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 16
C. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 8
D. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 8
Lời giải
Chọn C
Ta có: 
Khi đó (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính 
⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 8
Câu 15: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0). Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Biết diện tích lớn nhất của (C) bằng 3π. Phương trình của (S) là
A. x2 + (y – 2)2 + z2 = 3
B. (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 3
C. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 9
D. (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 9
Lời giải
Chọn B
Nhận xét: Mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) và diện tích của (C) lớn nhất khi (P) qua tâm I của (S).
Ta có: 
Khi đó (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính 
⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 3
Câu 16: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1). Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Biết chu vi lớn nhất của (C) bằng 
. Phương trình của (S) là
A. (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 4
B. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 2
C. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4
D. (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 2
Lời giải
Chọn D
Đường tròn (C) đạt chu vi lớn nhất khi (C) đi qua tâm I của mặt cầu (S).
Ta có: 
Khi đó (S) có tâm I(1; 1; 1) và bán kính 
⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 2
Câu 17: Cho I(1; –2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho 
A. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16
B. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 20
C. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 25
D. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9
Lời giải
Chọn A
Gọi M là hình chiếu vuông góc của I(1; –2; 3) trên trục Ox
⇒ M (1; 0; 0) và M là trung điểm của AB
Ta có: 
∆IMA vuông tại M 
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16
Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt cầu đi qua A(2; 3; –3), B(2; –2; 2), C(3; 3; 4) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
A. (x – 6)2 + (y – 1)2 + z2 = 29
B. (x + 6)2 + (y + 1)2 + z2 = 29
C. (x + 6)2 + (y – 1)2 + z2 = 29
D. (x – 6)2 + (y + 1)2 + z2 = 29
Lời giải
Chọn A
Giả sử I(a; b; 0) ∈ (Oxy) là tâm, r là bán kính của mặt cầu (S) và đi qua A(2; 3; –3), B(2; –2; 2), C(3; 3; 4)
Phương trình mặt cầu (S) là (x – a)2 + (y – b)2 + z2 = r2
Vì mặt cầu đi qua A(2; 3; –3), B(2; –2; 2), C(3; 3; 4) nên
Vậy phương trình mặt cầu (S) là (x – 6)2 + (y – 1)2 + z2 = 29
Câu 19: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3), D(1; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
B. (x – 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 26
C. (x + 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 26
D. (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
Lời giải
Chọn A
Giả sử (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thay lần lượt tọa độ của A, B, C, D vào phương trình ta được
Do đó: I(–2; 1; 0) và bán kính 
Vậy (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
Câu 20: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 3) và cắt d: 
tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương 
và P(1; –1; 1) ∈ d
Ta có: 
Suy ra 
∆IAB vuông tại I ⇔ ∆IAB vuông cân tại I
Vậy (S):
Tài liệu phương trình mặt cầu
Ngoài việc nắm chắc các vấn đề trong phương trình mặt cầu như các dạng phương trình, các vị trí tương đối với mặt phẳng và đường thẳng và một số dạng bài tập phổ biến. Việc thực hành nhiều bài tập cũng có ý nghĩa vô cùng lớn quyết định tới thời gian làm bài và tính chính xác. Dưới đây là tổng hợp một số tài liệu quan trọng giúp các độc giả có một kho bài tập cực lớn có lời giải để thực hành.
Quản trị viên website VerbaLearn.org. Với kinh nghiệm hơn 10 năm đi dạy và mong muốn tạo môi trường học tập miễn phí, tôi thành lập website này với mục đích chia sẽ kiến thức giáo dục đến học sinh các cấp tiểu học, THCS, THPT và Đại Học.