Hàm số lũy thừa thuộc chương 2 của đại số toán 12. Ở bài học dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản thế nào là hàm lũy thừa, các công thức cần nhờ về tập xác định đạo hàm và một vài dạng toán thường gặp trong các đề thi. Ngoài ra, cuối bài giảng VerbaLearn còn giúp bạn đọc tổng hợp một số tài liệu có hướng dẫn giải hay nhất cho mảng kiến thức này.
Mục lục
Lý thuyết hàm số luỹ thừa
1. Định nghĩa
Hàm số y = xα, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
Có 3 trường hợp về TXĐ
– D = ℝ nếu α là số nguyên dương.
– D = ℝ \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0
– D = (0; +∞) với α không nguyên.
3. Đạo hàm
Hàm số y = xα, với α ∈ ℝ có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)’ = α․xα-1
4. Tính chất của hàm số luỹ thừa
Phân dạng bài tập hàm số lũy thừa
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa
Phương pháp giải
Xét hàm số y = [f(x)]α:
– Khi α nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x)xác định.
– Khi α nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) ≠ 0.
– Khi α không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) > 0.
Lưu ý: Theo định nghĩa, đẳng thức 
chỉ xảy ra nếu x > 0. Do đó hàm số 
không đồng nhất với hàm số 
(n ∈ ℕ*)
Như vậy, cần nhớ lại:
, (n ∈ ℕ*): Hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) ≥ 0.
, (n ∈ ℕ*): Hàm số xác định khi f(x) xác định.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Với x là số thực tuỳ ý, xét các mệnh đề sau
1) xn = x․x…․x (n ∈ ℕ, n ≥ 1)
2) (2x – 1)0 = 1
3) 
4) 
Số mệnh đề đúng là:
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải
Ta thấy xn = x․x…․x (n ∈ ℕ, n ≥ 1) là mệnh đề đúng.
Ta thấy (2x – 1)0 = 1 là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện 2x – 1 ≠ 0 
Ta thấy là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện 4x + 1 ≠ 0 
Ta thấy là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện 
.
Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng.
⟹ Chọn C
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x2 – 1)-2
A. D = ℝ
B. D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)
C. D = (-1; 1)
D. D = ℝ \ {±1}
Hướng dẫn giải
Hàm số y = (x2 – 1)-2 có số mũ là số nguyên âm nên xác định khi x2 – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1.
Vậy D = ℝ \ {±1} là tập xác định của hàm số đã cho.
⟹ Chọn D
Câu 3. Tập xác định của hàm số y = (x2 + x – 12)-3 là
A. D = (-4; 3)
B. D = ℝ \ {-4; 3}
C. D = ℝ \ (-4; 3)
D. D = (-∞; -4) ∪ (3; +∞)
Hướng dẫn giải
Do số mũ là số nguyên âm nên ta có điều kiện x2 + x – 12 ≠ 0 
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ \ {-4; 3}
⟹ Chọn B
Câu 4. Hàm số y = (4x2 – 1)-4 có tập xác định là
A. D = [0; +∞)
B. 
C. D = ℝ
D. 
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 4x2 – 1 ≠ 0 
nên tập xác định của hàm số là
⟹ Chọn B
Câu 5. Tập xác định của hàm số y = x(sin2020π) là
A. D = ℝ
B. D = (0; +∞)
C. D = ℝ \ {0}
D. D = [0; +∞)
Hướng dẫn giải
Ta có y = x(sin2020π) = x0 nên tập xác định là D = ℝ \ {0}
⟹ Chọn C
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2π – 3
A. D = ℝ
B. D = (0; +∞)
C. D = ℝ \ {0}
D. D = [0; +∞)
Hướng dẫn giải
Hàm số y = x2π – 3 có số mũ không nguyên nên xác định khi x > 0.
Vậy tập xác định D = (0; +∞)
⟹ Chọn B
Câu 7. Tập xác định của hàm số 
là
A. D = [2; +∞)
B. D = (2; +∞)
C. D = (-∞; 2)
D. D = (-∞; 2]
Hướng dẫn giải
Hàm số có số mũ không nguyên nên xác định khi 2 – x > 0 ⇔ x < 2
Vậy tập xác định là D = (-∞; 2)
⟹ Chọn C
Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số 
A. D = (-5; -1) ∪ (1; 5)
B. D = [-5; -1) ∪ (1; 5]
C. D = [-5; 5]
D. D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định khi 
Vậy tập xác định là D = [-5; -1) ∪ (1; 5]
⟹ Chọn B
Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số 
A. D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞) \ {-1}
B. D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞)
C. D = (1; 3)
D. D = [1; 3]
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định khi 
Vậy tập xác định là D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞) \ {-1}
⟹ Chọn A
Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số 
A D = (-5; 5) \ {3}
B D = (-5; 5) \ {±3}
C D = [-5; 5]
D D = (-5; 5) \ {-3}
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định khi 
Vậy tập xác định là D = (-5; 5) \ {±3}
⟹ Chọn B
Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số luỹ thừa
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau.
a) y = x9
b) y = x-4
c) 
d) 
Hướng dẫn giải
a) TXĐ: D = ℝ. y’ = 9x8
b) TXĐ: D = ℝ \ {0}. 
c) TXĐ: D = (1; +∞). 
d) TXĐ: 
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) 
trên [3; 15]
b) 
trên [0; 1]
Hướng dẫn giải
a) 
, ∀ x ∈ [3; 15] ⇒ Hàm số luôn ĐB trên [3; 15]
Vậy 
b) 
, ∀ x ∈ [0; 1] ⇒ Hàm số luôn NB trên [0; 1]
Vậy
Câu 3. Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số 
?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho có tập xác định D = (0; +∞) nên loại đáp án A và C.
Vì 
nên chọn đáp án B.
⟹ Chọn B
Câu 4. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x tại một điểm. Tìm tọa độ điểm giao điểm đó.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm
Vậy tọa độ giao điểm là 
⟹ Chọn B
Câu 5. Cho α là một số thực và hàm số 
đồng biến trên (0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. α < 1
B. 
C. 
D. α > 1
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết, hàm số đồng biến trên (0; +∞) nên
y’ > 0, ∀ x ∈ (0; +∞) 
⟹ Chọn B
Câu 6. Cho hàm số (C): 
. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 có hoành độ x0 = 1
A .
B. 
C. y = πx – π + 1
D. 
Hướng dẫn giải
TXĐ: D = (0; +∞)
và y0 = y (1) = 1
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 có dạng:
⟹ Chọn B
Câu 7. Hình vẽ dưới đây là đồ thị các hàm số y = xa, y = xb, y = xc trên miền (0; +∞). Hỏi trong các số a,b,c số nào nhận giá trị trong khoảng (0;1)?
A. Số b
B. Số a và số c
C. Số c
D. Số a
Hướng dẫn giải
Sử dụng hình vẽ dưới đây để trả lời 3 câu hỏi bên dưới. Hình vẽ này là đồ thị của hàm số 
.
⟹ Chọn C
Câu 8. Hỏi đồ thị của hàm số 
là hình nào?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đồ thị của hàm số là hình ở đáp án A.
⟹ Chọn A
Câu 9. Hỏi đồ thị của hàm số 
là hình nào?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đồ thị của hàm số là hình ở đáp án C.
⟹ Chọn C
Câu 10. Hỏi đồ thị của hàm số 
là hình nào
A. 
B. 
C.
D. 
Hướng dẫn giải
Đồ thị của hàm số là hình ở đáp án B.
⟹ Chọn B
Tài liệu tham khảo
Tài Liệu: Chuyên đề lũy thừa, mũ và lôgarit ôn thi THPTQG – Thầy Nguyễn Bảo Vương – 583 trang
Tài Liệu: Chuyên đề Mũ và Logarit – Thầy Đặng Việt Đông – 506 trang
Tài Liệu: Chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit – Thầy Nguyễn Trọng – 99 trang
Tài Liệu: Chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit – Thầy Lê Hồ Quang Minh – 173 trang
Tài Liệu: Tuyển tập các bài toán mũ và logarit hay và đặc sắc – Thầy Nguyễn Xuân Nhật – 88 trang
Tài Liệu: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit – Thầy Nguyễn Tài Chung – 96 trang
Tài Liệu: Phương pháp giải toán cực trị mũ – logarit – Tạp chí & Tư liệu toán học – 229 trang
Tài Liệu: Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit – Thầy Lư Sĩ Pháp – 179 trang
Tài Liệu: Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit – Thầy Bùi Trần Duy Tuấn – 341 trang
Tài Liệu: Các dạng bài tập VDC bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit – 27 trang
Tài Liệu: Chuyên đề phương trình mũ và logarit – Thầy Nguyễn Thành Long – 179 trang
Quản trị viên website VerbaLearn.org. Với kinh nghiệm hơn 10 năm đi dạy và mong muốn tạo môi trường học tập miễn phí, tôi thành lập website này với mục đích chia sẽ kiến thức giáo dục đến học sinh các cấp tiểu học, THCS, THPT và Đại Học.
